미적분 예제

$lim_{x \to 0^{+}} {\sin (x)}^{\tan (x)}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${\sin (x)}^{\tan (x)}$ 을 $e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$

단계 1.2

$\tan (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}$

단계 2

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (\sin (x))}$

단계 3

$\tan (x) \ln (\sin (x))$ 을 $\frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}}$

단계 4

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 4.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

단계 4.1.2

$x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 접근함에 따라 $\ln (\sin (x))$ 이(가) 무한히 감수합니다.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

단계 4.1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 4.1.3.1

삼각함수 항등식 적용하기

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단계 4.1.3.1.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}}$

단계 4.1.3.1.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

단계 4.1.3.1.3

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}}$

단계 4.1.3.2

$x$ 값이 오른쪽에서 $0$ 에 근접함에 따라 함수 값이 무한히 증가합니다.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

단계 4.1.3.3

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

단계 4.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

단계 4.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

단계 4.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

단계 4.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

단계 4.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

단계 4.3.2.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

단계 4.3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

단계 4.3.4

$\frac{1}{\sin (x)}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

단계 4.3.5

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}}$

단계 4.3.6

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

단계 4.3.7

$1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

단계 4.3.8

간단히 합니다.

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단계 4.3.8.1

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

단계 4.3.8.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

단계 4.3.9

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.10

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.11

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.12

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.15

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.16

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.17

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.19

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.20

간단히 합니다.

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단계 4.3.20.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.20.1.1

$- \sin^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.20.1.2

$- \cos^{2} (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.20.1.3

$- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.20.1.4

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.20.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.3.20.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}}$

단계 4.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 \sin^{2} (x)}$

단계 4.5

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 와 $\sin^{2} (x)$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}$

단계 4.6

$\sin^{2} (x)$ 및 $\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.1

$\cos (x) \sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x)}}$

단계 4.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

단계 4.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

단계 4.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin (x)}{1}}$

단계 4.6.2.4

$\cos (x) \sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \cos (x) \sin (x)}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \sin (x)}$

단계 5.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

단계 5.3

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

단계 5.4

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

단계 6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

단계 6.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (0)}$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$e^{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (0)}$

단계 7.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 1 \cdot \sin (0)}$

단계 7.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$e^{- 1 \cdot 0}$

단계 7.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{0}$

단계 8

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1$