미적분 예제

$\int \frac{t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

단계 1

$t^{3} + 5 t^{2} + 7 t + 1$ 을 $t^{2} + 3 t$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

단계 1.2

피제수 $t^{3}$ 의 고차항을 제수 $t^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

단계 1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

단계 1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $t^{3} + 3 t^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

단계 1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

단계 1.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$t$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

단계 1.7

피제수 $2 t^{2}$ 의 고차항을 제수 $t^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

단계 1.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

단계 1.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 t^{2} + 6 t + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

단계 1.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$t$

$2$

$t^{2}$

$3 t$

$0$

$t^{3}$

$5 t^{2}$

$7 t$

$1$

$t^{3}$

$3 t^{2}$

$0$

$2 t^{2}$

$7 t$

$1$

$2 t^{2}$

$6 t$

$0$

$t$

$1$

단계 1.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int t + 2 + \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int t d t + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + \int 2 d t + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

단계 4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{t + 1}{t^{2} + 3 t} d t$

단계 5

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$t^{2} + 3 t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$t^{2}$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t + 1}{t \cdot t + 3 t}$

단계 5.1.1.2

$3 t$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t + 1}{t \cdot t + t \cdot 3}$

단계 5.1.1.3

$t \cdot t + t \cdot 3$ 에서 $t$ 를 인수분해합니다.

$\frac{t + 1}{t (t + 3)}$

단계 5.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$

단계 5.1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $t (t + 3)$ 입니다.

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

단계 5.1.4

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(t + 1) (t (t + 3))}{t (t + 3)} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

단계 5.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

단계 5.1.5

$t + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{(t + 1) (t + 3)}{t + 3} = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

단계 5.1.5.2

$t + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

단계 5.1.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.6.1

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.6.1.1

공약수로 약분합니다.

$t + 1 = \frac{A (t (t + 3))}{t} + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

단계 5.1.6.1.2

$A (t + 3)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$t + 1 = A (t + 3) + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

단계 5.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$t + 1 = A t + A \cdot 3 + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

단계 5.1.6.3

$A$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$t + 1 = A t + 3 \cdot A + \frac{(B) (t (t + 3))}{t + 3}$

단계 5.1.6.4

$t + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$t + 1 = A t + 3 A + \frac{B (t (t + 3))}{t + 3}$

단계 5.1.6.4.2

$(B) (t)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$t + 1 = A t + 3 A + (B) (t)$

$t + 1 = A t + 3 A + B t$

단계 5.1.7

$3 A$ 를 옮깁니다.

$t + 1 = A t + B t + 3 A$

단계 5.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

방정식의 각 변의 $t$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = A + B$

단계 5.2.2

$t$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = 3 A$

단계 5.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

$1 = A + B$

$1 = 3 A$

단계 5.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$1 = 3 A$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$3 A = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 A = 1$

$1 = A + B$

단계 5.3.1.2

$3 A = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.1

$3 A = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

단계 5.3.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

단계 5.3.1.2.2.1.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = A + B$

단계 5.3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $\frac{1}{3}$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$1 = A + B$ 의 $A$ 를 모두 $\frac{1}{3}$ 로 바꿉니다.

$1 = (\frac{1}{3}) + B$

$A = \frac{1}{3}$

단계 5.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

괄호를 제거합니다.

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

$1 = \frac{1}{3} + B$

$A = \frac{1}{3}$

단계 5.3.3

$1 = \frac{1}{3} + B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$\frac{1}{3} + B = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} + B = 1$

$A = \frac{1}{3}$

단계 5.3.3.2

$B$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

방정식의 양변에서 $\frac{1}{3}$ 를 뺍니다.

$B = 1 - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

단계 5.3.3.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$B = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

단계 5.3.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$B = \frac{3 - 1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

단계 5.3.3.2.4

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

단계 5.3.4

연립방정식을 풉니다.

$B = \frac{2}{3} A = \frac{1}{3}$

단계 5.3.5

모든 해를 나열합니다.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}$

단계 5.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

단계 5.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

단계 5.5.2

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{t}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 t} + \frac{\frac{2}{3}}{t + 3}$

단계 5.5.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{3 t} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{t + 3}$

단계 5.5.4

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{1}{t + 3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} + \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \int \frac{1}{3 t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

단계 7

$\frac{1}{3}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

단계 8

$\frac{1}{t}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| t |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \int \frac{2}{3 (t + 3)} d t$

단계 9

$\frac{2}{3}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{t + 3} d t$

단계 10

먼저 $u = t + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u = t + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$t + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [t + 3]$

단계 10.1.2

합의 법칙에 의해 $t + 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d t} [3]$

단계 10.1.4

$3$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 10.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 10.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} d u$

단계 11

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} t^{2} + C + 2 t + C + \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C) + \frac{2}{3} (\ln (| u |) + C)$

단계 12

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| u |) + C$

단계 13

$u$ 를 모두 $t + 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} t^{2} + 2 t + \frac{1}{3} \ln (| t |) + \frac{2}{3} \ln (| t + 3 |) + C$