미적분 예제

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$ , $y (2) = 1$

단계 1

변수를 분리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

양변에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$

단계 1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$3 y^{2}$ 에서 $y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

단계 1.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

단계 1.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3}$

단계 1.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3}$

단계 1.3

식을 다시 씁니다.

$y^{2} d y = - \frac{2 x}{3} d x$

단계 2

양변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

각 변의 적분을 구합니다.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{2 x}{3} d x$

단계 2.2

멱의 법칙에 의해 $y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} y^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{2 x}{3} d x$

단계 2.3

우변을 적분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{2 x}{3} d x$

단계 2.3.2

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{2}{3} \int x d x)$

단계 2.3.3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

단계 2.3.4

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$- \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 을 $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.3

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.2.3.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

단계 2.3.4.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

단계 2.4

우변에 적분 상수를 $K$ 로 묶습니다.

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{2} + K$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

방정식의 양변에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

단계 3.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$3 (\frac{1}{3} y^{3})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{3}$ 을 묶습니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

단계 3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3} + K)$

단계 3.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3}) + 3 K$

단계 3.2.2.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

단계 3.2.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$y^{3} = - x^{2} + 3 K$

단계 3.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 3 K}$

단계 4

적분 상수를 간단히 합니다.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$

단계 5

초기 조건을 활용하여 $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ 에서 $x$ 에 $2$ 을, $y$ 에 $1$ 를 대입하여 $K$ 값을 구합니다.

$1 = \sqrt[3]{- 2^{2} + K}$

단계 6

$K$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$

단계 6.2

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${\sqrt[3]{- 2^{2} + K}}^{3} = 1^{3}$

단계 6.3

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{- 2^{2} + K}$ 을(를) ${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

단계 6.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1

${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1

${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

단계 6.3.2.1.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

단계 6.3.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(- 2^{2} + K)}^{1} = 1^{3}$

단계 6.3.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.2.1.2.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

${(- 1 \cdot 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

단계 6.3.2.1.2.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

${(- 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

단계 6.3.2.1.3

간단히 합니다.

$- 4 + K = 1^{3}$

단계 6.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 4 + K = 1$

단계 6.4

$K$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$K = 1 + 4$

단계 6.4.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$K = 5$

단계 7

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ 의 $K$ 에 $5$ 를 대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$K$ 에 $5$ 를 대입합니다.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 5}$