미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

단계 2

먼저 $u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$\sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 2.2

$u = \sin (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sin (0)$

단계 2.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 2.4

$u = \sin (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

단계 2.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int_{0}^{1} u^{2} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$3 (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$3 (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{u^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

단계 5.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

단계 5.2.3

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

단계 5.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

단계 5.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

단계 5.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

단계 5.2.3.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 (\frac{1}{3} - 0)$

단계 5.2.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 (\frac{1}{3} + 0)$

단계 5.2.5

$\frac{1}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (\frac{1}{3})$

단계 5.2.6

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3}$

단계 5.2.7

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{3}$

단계 5.2.7.2

수식을 다시 씁니다.

$1$