미적분 예제

$y = \frac{5 + 3 x^{3}}{1 + 2 x^{3}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 + 3 x^{3}}{1 + 2 x^{3}})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = 5 + 3 x^{3}$ , $g (x) = 1 + 2 x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [5 + 3 x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $5 + 3 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.2.2

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.2.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{(1 + 2 x^{3}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}]) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.2.5

$1 + 2 x^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot (1 + 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.2.6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 (1 + 2 x^{3}) (3 x^{2}) - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.2.7

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.2.8

합의 법칙에 의해 $1 + 2 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.2.9

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.2.10

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 에 더합니다.

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.2.11

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - (5 + 3 x^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.2.12

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 2 (5 + 3 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.2.13

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 2 (5 + 3 x^{3}) (3 x^{2})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.2.14

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{9 (1 + 2 x^{3}) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(9 \cdot 1 + 9 (2 x^{3})) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 (5 + 3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} + (- 6 \cdot 5 - 6 (3 x^{3})) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 \cdot 1 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1.1

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{3}) x^{2} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.5.1.2

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 (x^{2} x^{3})) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.5.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{2 + 3}) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.5.1.2.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{9 x^{2} + 9 (2 x^{5}) - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.5.1.3

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 6 \cdot 5 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.5.1.4

$- 6$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{3}) x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.5.1.5

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1.5.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 (x^{2} x^{3}))}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.5.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{2 + 3})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.5.1.5.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 6 (3 x^{5})}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.5.1.6

$3$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 18 x^{5}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.5.2

$9 x^{2} + 18 x^{5} - 30 x^{2} - 18 x^{5}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.2.1

$18 x^{5}$ 에서 $18 x^{5}$ 을 뺍니다.

$\frac{9 x^{2} - 30 x^{2} + 0}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.5.2.2

$9 x^{2} - 30 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{9 x^{2} - 30 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.5.3

$9 x^{2}$ 에서 $30 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 3.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{21 x^{2}}{{(1 + 2 x^{3})}^{2}}$