미적분 예제

$6 \sqrt{\frac{1}{x} + 8 x^{4}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\frac{1}{x} + 8 x^{4}}$ 을(를) ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [6 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \frac{1}{x} + 8 x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ 로 바꿉니다.

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ 로 바꿉니다.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$6 (\frac{1}{2} {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 와 ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$6 (\frac{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

단계 9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$6 (\frac{1}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}])$

단계 10

$\frac{1}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

단계 11

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

단계 12

공약수로 약분합니다.

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단계 12.1

$2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

단계 12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

단계 12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} + 8 x^{4}]$

단계 13

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{x} + 8 x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

단계 14

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

단계 15

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [8 x^{4}])$

단계 16

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{4}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 17

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 8 (4 x^{3}))$

단계 18

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- x^{- 2} + 32 x^{3})$

단계 19

간단히 합니다.

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단계 19.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3})$

단계 19.2

$\frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1}{x} + 8 x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.3

분모를 간단히 합니다.

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단계 19.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $8 x^{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1}{x} + \frac{8 x^{4} x}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{4} x}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.3.3

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 19.3.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 (x \cdot x^{4})}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.3.3.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 19.3.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 (x^{1} x^{4})}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.3.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{1 + 4}}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.3.3.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{{(\frac{1 + 8 x^{5}}{x})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.3.4

$\frac{1 + 8 x^{5}}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3}{\frac{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}$

단계 19.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) (3 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}})$

단계 19.5

$3$ 와 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.6

$- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}$ 에 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- \frac{1}{x^{2}} + 32 x^{3}) (3 x^{\frac{1}{2}})}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 19.7.1

공통 분모를 가지는 분수로 $32 x^{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{32 x^{3} x^{2}}{x^{2}}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{3} x^{2}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7.3

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 19.7.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{- 1 + 32 (x^{2} x^{3})}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{2 + 3}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7.3.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{- 1 + 32 x^{5}}{x^{2}} \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7.4

지수를 묶습니다.

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단계 19.7.4.1

$\frac{- 1 + 32 x^{5}}{x^{2}}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3}{x^{2}} x^{\frac{1}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7.4.2

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3}{x^{2}}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7.5

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 19.7.5.1

공약수를 소거하여 수식 $\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 19.7.5.1.1

$(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7.5.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2} \cdot 1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7.5.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{x^{2} ((- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}})}{x^{2} \cdot 1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7.5.1.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}}{1}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7.5.2

$(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{\frac{- 3}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 x^{- \frac{3}{2}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7.7

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot 3 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.7.8

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.8

$\frac{(- 1 + 32 x^{5}) \cdot \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ 에서 $\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{- 1 + 32 x^{5}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.9

$\frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$ 에 $\frac{- 1 + 32 x^{5}}{{(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (- 1 + 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.10

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (1) + 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.11

$32 x^{5}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 1 (1) - (- 32 x^{5}))}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.12

$- 1 (1) - (- 32 x^{5})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 1 (1 - 32 x^{5}))}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 19.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 (1 - 32 x^{5})}{x^{\frac{3}{2}} {(1 + 8 x^{5})}^{\frac{1}{2}}}$