미적분 예제

$y = \frac{1}{\sqrt[4]{9 x^{2} - 5}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{9 x^{2} - 5}$ 을(를) ${(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1.1

$\frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}}$ 을 ${({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}]$

단계 4.1.2

${({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4} \cdot - 1}]$

단계 4.1.2.2

$\frac{1}{4}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1}{4}}]$

단계 4.1.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4}}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{4}}$ , $g (x) = 9 x^{2} - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $9 x^{2} - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

단계 4.2.2

$n = - \frac{1}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{4} u^{- \frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $9 x^{2} - 5$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

단계 4.6.2

$- 1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 5}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

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단계 4.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

단계 4.7.2

${(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{{(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

단계 4.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

단계 4.8

합의 법칙에 의해 $9 x^{2} - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 4.9

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{2}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 4.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 4.11

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 4.12

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x + 0)$

단계 4.13

항을 간단히 합니다.

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단계 4.13.1

$18 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x)$

단계 4.13.2

$18$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 18 \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} x$

단계 4.13.3

$- 18$ 와 $\frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 18}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} x$

단계 4.13.4

$\frac{- 18}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 18 x}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

단계 4.13.5

$- 18 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 9 x)}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

단계 4.14

공약수로 약분합니다.

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단계 4.14.1

$4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 9 x)}{2 (2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}})}$

단계 4.14.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 9 x)}{2 (2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}})}$

단계 4.14.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

단계 4.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$