미적분 예제

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} + 3 d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

단계 2

먼저 $u = x - 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = x - 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$x - 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

단계 2.1.4

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2

$u = x - 3$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 - 3$

단계 2.3

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = - 3$

단계 2.4

$u = x - 3$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4 - 3$

단계 2.5

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 1$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{- 3}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{4} 3 d x$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + \int_{0}^{4} 3 d x$

단계 4

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + 3 x]_{0}^{4}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$1$ , $- 3$ 일 때, $\frac{1}{3} u^{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + 3 x]_{0}^{4}$

단계 5.2

$4$ , $0$ 일 때, $3 x$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3

간단히 합니다.

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단계 5.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.2

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.3

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 27 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.4

$- 27$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} + 27 (\frac{1}{3}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.5

$27$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} + \frac{27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.6

$27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.6.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.6.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} + \frac{9}{1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.6.2.4

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{3} + 9 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.8

$9$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 + 9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.10.1

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + 27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.10.2

$1$ 를 $27$ 에 더합니다.

$\frac{28}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

단계 5.3.11

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{28}{3} + 12 - 3 \cdot 0$

단계 5.3.12

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{28}{3} + 12 + 0$

단계 5.3.13

$12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{28}{3} + 12$

단계 5.3.14

공통 분모를 가지는 분수로 $12$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{28}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

단계 5.3.15

$12$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{28}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

단계 5.3.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{28 + 12 \cdot 3}{3}$

단계 5.3.17

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.17.1

$12$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{28 + 36}{3}$

단계 5.3.17.2

$28$ 를 $36$ 에 더합니다.

$\frac{64}{3}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{64}{3}$

소수 형태:

$21.\overline{3}$

대분수 형식:

$21 \frac{1}{3}$

단계 7