미적분 예제

$\frac{2 x^{2}}{2 - x^{2}}$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x^{2}}{2 - x^{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x^{2}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x^{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 2 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(2 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(2 - x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2

$2 - x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \frac{2 \cdot (2 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $2 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.7

곱합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.7.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{2} (2 x)}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{1 + 2} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + x^{3} \cdot 2}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 5

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \frac{2 (2 - x^{2}) x + 2 \cdot x^{3}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 6

$2$ 와 $\frac{2 (2 - x^{2}) x + 2 x^{3}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (2 (2 - x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 ((2 \cdot 2 + 2 (- x^{2})) x + 2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (2 \cdot 2 x) + 2 (2 (- x^{2}) x) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.4.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (4 x) + 2 (2 (- x^{2}) x) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7.4.1.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x + 2 (2 (- x^{2}) x) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7.4.1.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.4.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{8 x + 2 (2 (- (x \cdot x^{2}))) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7.4.1.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.4.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{8 x + 2 (2 (- (x^{1} x^{2}))) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7.4.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{8 x + 2 (2 (- x^{1 + 2})) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7.4.1.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{8 x + 2 (2 (- x^{3})) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7.4.1.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x + 2 (- 2 x^{3}) + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7.4.1.5

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x - 4 x^{3} + 2 (2 x^{3})}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7.4.1.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 x - 4 x^{3} + 4 x^{3}}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7.4.2

$8 x - 4 x^{3} + 4 x^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 7.4.2.1

$- 4 x^{3}$ 를 $4 x^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{8 x + 0}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7.4.2.2

$8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{8 x}{{(2 - x^{2})}^{2}}$

단계 7.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{8 x}{{(- x^{2} + 2)}^{2}}$