미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

단계 1.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

단계 1.2.4

$\frac{4}{4}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

단계 1.2.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

단계 1.2.5.2

$x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

단계 1.3

$\frac{1}{4}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{1}{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{4}$ 입니다.

$x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{3} x^{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

단계 1.4.3

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$x^{3} + 0 + \frac{3}{3} x^{2}$

단계 1.4.4

$\frac{3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

단계 1.4.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.4.5.1

공약수로 약분합니다.

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

단계 1.4.5.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{3} + 0 + x^{2}$

단계 1.5

$x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = x^{3} + x^{2}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

단계 3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $3 x^{2} + 2 x$ 입니다.

$3 x^{2} + 2 x$