미적분 예제

$y = \ln (t \cdot 5^{t})$

단계 1

$f (t) = \ln (t)$ , $g (t) = t \cdot 5^{t}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t \cdot 5^{t}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $t \cdot 5^{t}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} \frac{d}{d t} [t \cdot 5^{t}]$

단계 2

$f (t) = t$ , $g (t) = 5^{t}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t \frac{d}{d t} [5^{t}] + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

단계 3

$a$ = $5$ 일 때 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 은 $a^{t} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \frac{d}{d t} [t])$

단계 4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t} \cdot 1)$

단계 4.2

$5^{t}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5)) + 5^{t})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}} (t (5^{t} \ln (5))) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$t$ 와 $\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ 을 묶습니다.

$\frac{t}{t \cdot 5^{t}} (5^{t} \ln (5)) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

단계 5.2.2

$5^{t}$ 와 $\frac{t}{t \cdot 5^{t}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}} \ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

단계 5.2.3

$\frac{5^{t} t}{t \cdot 5^{t}}$ 와 $\ln (5)$ 을 묶습니다.

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

단계 5.2.4

$5^{t}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5^{t} t \ln (5)}{t \cdot 5^{t}} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

단계 5.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

단계 5.2.5

$t$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{t \ln (5)}{t} + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

단계 5.2.5.2

$\ln (5)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (5) + \frac{1}{t \cdot 5^{t}} \cdot 5^{t}$

단계 5.2.6

$\frac{1}{t \cdot 5^{t}}$ 와 $5^{t}$ 을 묶습니다.

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

단계 5.2.7

$5^{t}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.7.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (5) + \frac{5^{t}}{t \cdot 5^{t}}$

단계 5.2.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (5) + \frac{1}{t}$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{t} + \ln (5)$