미적분 예제

$\sqrt{4 + x^{2}}$

단계 1

$\sqrt{4 + x^{2}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \sqrt{4 + x^{2}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \sqrt{4 + x^{2}} d x$

단계 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 2 \tan (t)$ 라고 하면 $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $2 \sec^{2} (t)$ 는 양수입니다.

$\int \sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

$2 \tan (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.2

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.3

$4 \tan^{2} (t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.4

$4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.5

항을 다시 배열합니다.

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.6

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.7

$4 \sec^{2} (t)$ 을 ${(2 \sec (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.1.8

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int 4 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

단계 5.2.2

지수를 더하여 $\sec (t)$ 에 $\sec^{2} (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$\sec^{2} (t)$ 를 옮깁니다.

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

단계 5.2.2.2

$\sec^{2} (t)$ 에 $\sec (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.2.1

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

단계 5.2.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

단계 5.2.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

단계 6

$4$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int \sec^{3} (t) d t$

단계 7

$\sec^{3} (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$4 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

단계 8

$u = \sec (t)$ 이고 $d v = \sec^{2} (t)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

단계 9

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

단계 10

$\tan (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

단계 11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

단계 12

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

단계 12.2

$\tan^{2} (t)$ 와 $\sec (t)$ 을 다시 정렬합니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

단계 13

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

단계 14

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

단계 14.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

단계 14.3

$\sec (t)$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

단계 15

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

단계 16

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

단계 17

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

단계 18

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

단계 19

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

단계 20

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

단계 21

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

단계 22

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

단계 23

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

단계 24

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 입니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

단계 25

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 25.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 25.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

단계 26

$\int \sec^{3} (t) d t$ 을 풀면 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ 입니다.

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

단계 27

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

단계 28

간단히 합니다.

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 29

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 29.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 29.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 29.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 29.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 29.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

단계 30

$t$ 를 모두 $\arctan (\frac{x}{2})$ 로 바꿉니다.

$2 (\sec (\arctan (\frac{x}{2})) \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.1.1

평면에 $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arctan (\frac{x}{2})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(1, \frac{x}{2})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ 는 $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ 입니다.

$2 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.2

$\frac{x}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$2 (\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.6

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.1.6.1

$4 + x^{2}$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.6.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.6.3

분수 $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$2 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.8

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.9

탄젠트와 아크탄젠트 함수는 역함수 관계입니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.10

조합합니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{2 \cdot 2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.11

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.12

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.1.12.1

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.12.2

$\frac{x}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.12.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.12.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.12.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.12.6

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.1.12.6.1

$4 + x^{2}$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.12.6.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.12.6.3

분수 $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.12.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.12.8

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{4 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

단계 31.1.12.9

탄젠트와 아크탄젠트 함수는 역함수 관계입니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} |)) + C$

단계 31.1.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}} + x}{2} |)) + C$

단계 31.1.14

절댓값에서 음이 아닌 항을 제거합니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})) + C$

단계 31.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

단계 31.3

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

단계 31.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

단계 31.5

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{4} + C$

단계 31.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.6.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 (2)} + C$

단계 31.6.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

단계 31.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2} + C$

단계 32

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$

단계 33

답은 함수 $f (x) = \sqrt{4 + x^{2}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$