미적분 예제

$\frac{1}{x^{2} + x}$

단계 1

$\frac{1}{x^{2} + x}$ 을 ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2} + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + x$ 로 바꿉니다.

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x^{2} + x)}^{- 2} (2 x + 1)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$

단계 4.2

$- \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}} (2 x + 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (2 x + 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

단계 4.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

단계 4.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{2}}$

단계 4.6

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$x^{2} + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.6.1.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x)}^{2}}$

단계 4.6.1.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2}}$

단계 4.6.1.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2}}$

단계 4.6.1.4

$x \cdot x + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(- 2 x - 1) \frac{1}{{(x (x + 1))}^{2}}$

단계 4.6.2

$x (x + 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(- 2 x - 1) \frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.7

$- 2 x - 1$ 에 $\frac{1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.8

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x) - 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.9

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.10

$- (2 x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.11

$- (2 x + 1)$ 을 $- 1 (2 x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$

단계 4.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} {(x + 1)}^{2}}$