미적분 예제

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x} - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 1.2.1

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

단계 1.2.1.2

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

단계 1.2.1.3

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

단계 1.2.1.4

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

단계 1.2.1.5

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{\sqrt{2 + lim_{x \to 2} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

단계 1.2.2

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{2 + 2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

단계 1.2.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1.1

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

단계 1.2.3.1.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

단계 1.2.3.1.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

단계 1.2.3.1.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

단계 1.2.3.2

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1.1

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

단계 1.3.1.2

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

단계 1.3.2

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

단계 1.3.3

답을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{0}{2 - 2}$

단계 1.3.3.2

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.3.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 + x} - 2}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $\sqrt{2 + x} - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 + x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 + x}$ 을(를) ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 2 + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 + x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.2.3

$u$ 를 모두 $2 + x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.3

합의 법칙에 의해 $2 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.11

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2} {(2 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.12

$\frac{1}{2}$ 와 ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.13

$\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{{(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.3.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(2 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.5

$\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

단계 3.6

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

단계 3.8

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

단계 3.9

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 {(2 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

단계 5

${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{2 + x}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}} \cdot 1$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{2 + x}}$

단계 6.2

$\frac{1}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 + x}}$

단계 6.3

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x}}$

단계 6.4

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 + x}}$

단계 6.5

극한을 루트 안으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + x}}$

단계 6.6

$x$ 가 $2$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 + lim_{x \to 2} x}}$

단계 6.7

$x$ 가 $2$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + lim_{x \to 2} x}}$

단계 7

$x$ 에 $2$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + 2}}$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}$

단계 8.1.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

단계 8.1.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

단계 8.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

단계 8.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4}$