미적분 예제

$\int_{1}^{x^{2} + 1} \frac{2 t + 2}{\sqrt{t + 1}} d t$

단계 1

먼저 $u = t + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = t + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$t + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $t + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.1.4

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u = t + 1$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + 1$

단계 1.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 2$

단계 1.4

$u = t + 1$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = x^{2} + 1 + 1$

단계 1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = x^{2} + 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = x^{2} + 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{\sqrt{u}} d u$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} \frac{2 (u - 1) + 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3

$(2 (u - 1) + 2) u^{- \frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1 + 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} (2 u + 2 \cdot - 1) u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.4

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.8

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.9

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.10

$- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $2 u^{- \frac{1}{2}}$ 에 더합니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} + 0 d u$

단계 3.11

$2 u^{\frac{1}{2}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\int_{2}^{x^{2} + 2} 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{2}^{x^{2} + 2} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{2}^{x^{2} + 2})$

단계 6

$\frac{2}{3}$ 와 $u^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{x^{2} + 2})$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$x^{2} + 2$ , $2$ 일 때, $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 값을 계산합니다.

$2 ((\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1.1

$2$ 에 $2^{\frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 7.2.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3})$

단계 7.2.1.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3})$

단계 7.2.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3})$

단계 7.2.1.4

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2 (\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3})$

단계 7.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

단계 7.2.3

$2$ 와 $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})}{3}$

단계 8

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{5}{2}})$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

단계 9.2

$\frac{2}{3} (2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})$ 을 곱합니다.

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단계 9.2.1

$2$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 2}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

단계 9.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

단계 9.2.3

$\frac{4}{3}$ 와 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$

단계 9.3

$\frac{2}{3} (- 2^{\frac{5}{2}})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$\frac{2}{3}$ 와 $2^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

단계 9.3.2

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{\frac{5}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 9.3.2.1

$2$ 에 $2^{\frac{5}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 9.3.2.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}{3}$

단계 9.3.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{1 + \frac{5}{2}}}{3}$

단계 9.3.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}{3}$

단계 9.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{2 + 5}{2}}}{3}$

단계 9.3.2.4

$2$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2^{\frac{7}{2}}}{3}$

단계 9.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{7}{2}}}{3}$