미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})} d x$

단계 3

$\frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ 을 $\csc^{2} (4 x - \frac{π}{3})$ 로 변환합니다.

$\int \csc^{2} (4 x - \frac{π}{3}) d x$

단계 4

먼저 $u = 4 x - \frac{π}{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = 4 x - \frac{π}{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$4 x - \frac{π}{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x - \frac{π}{3}]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $4 x - \frac{π}{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

단계 4.1.3.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

단계 4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.4.1

$- \frac{π}{3}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- \frac{π}{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \frac{π}{3}$ 입니다.

$4 + 0$

단계 4.1.4.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{4} d u$

단계 5

$\csc^{2} (u)$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{4} d u$

단계 6

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u) d u$

단계 7

$- \cot (u)$ 의 도함수는 $\csc^{2} (u)$ 이므로, $\csc^{2} (u)$ 의 적분값은 $- \cot (u)$ 이 됩니다.

$\frac{1}{4} (- \cot (u) + C)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} (- \cot (u)) + C$

단계 8.2

$\frac{1}{4}$ 와 $\cot (u)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cot (u)}{4} + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $4 x - \frac{π}{3}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{\cot (4 x - \frac{π}{3})}{4} + C$

단계 10

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$

단계 11

답은 함수 $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$