미적분 예제

$\int_{- 8}^{4} \frac{14}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

단계 1

$14$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $14$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$14 \int_{- 8}^{4} \frac{1}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

단계 2

먼저 $u = 9 - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = 9 - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$9 - 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x]$

단계 2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $9 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.1.2.2

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 2 \cdot 1$

단계 2.1.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 2$

단계 2.1.4

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 2$

단계 2.2

$u = 9 - 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 9 - 2 \cdot - 8$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 9 + 16$

단계 2.3.2

$9$ 를 $16$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 25$

단계 2.4

$u = 9 - 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 9 - 2 \cdot 4$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 9 - 8$

단계 2.5.2

$9$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 1$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 1$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 3.2

$\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

단계 3.3

$u^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$14 (- \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u)$

단계 5

$- 1$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$- 14 \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 14 (\frac{1}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

단계 7

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 14$ 을 묶습니다.

$\frac{- 14}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

단계 7.1.2

$- 14$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1

$- 14$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 7}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

단계 7.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

단계 7.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

단계 7.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 7}{1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

단계 7.1.2.2.4

$- 7$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 7 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

단계 7.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$u^{\frac{3}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- 7 \int_{25}^{1} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

단계 7.2.2

${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

단계 7.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

단계 7.2.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

단계 7.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 7 \int_{25}^{1} u^{- \frac{3}{2}} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$- 7 (- 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{25}^{1})$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

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단계 9.1

$1$ , $25$ 일 때, $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$- 7 ((- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

단계 9.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 7 (- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

단계 9.2.2

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

단계 9.2.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}})$

단계 9.2.4

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

단계 9.2.5

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

단계 9.2.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

단계 9.2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{1}})$

단계 9.2.7

지수값을 계산합니다.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5})$

단계 9.2.8

$2$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$- 7 (- 2 + \frac{2}{5})$

단계 9.2.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$- 7 (- 2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5})$

단계 9.2.10

$- 2$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$- 7 (\frac{- 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5})$

단계 9.2.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 7 \frac{- 2 \cdot 5 + 2}{5}$

단계 9.2.12

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.12.1

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 7 \frac{- 10 + 2}{5}$

단계 9.2.12.2

$- 10$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 7 (\frac{- 8}{5})$

단계 9.2.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 7 (- \frac{8}{5})$

단계 9.2.14

$- 1$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$7 (\frac{8}{5})$

단계 9.2.15

$7$ 와 $\frac{8}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{7 \cdot 8}{5}$

단계 9.2.16

$7$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{56}{5}$

단계 10

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{56}{5}$

소수 형태:

$11.2$

대분수 형식:

$11 \frac{1}{5}$

단계 11