미적분 예제

$\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

단계 1

$\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{10} x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$\frac{1}{10}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{10} x^{5}$ 의 미분은 $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.1.2.3

$5$ 와 $\frac{1}{10}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.1.2.4

$\frac{5}{10}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.1.2.5

$5$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.1

$5 x^{4}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.1.2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.5.2.1

$10$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.1.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.1.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{3}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{x^{4}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 2.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{4}}{2} - 3 (3 x^{2})$

단계 2.1.3.3

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{x^{4}}{2} - 9 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{4}}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.2.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.2.2.4

$\frac{4}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.2.2.5

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.5.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.2.2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.2.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.2.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.2.2.5.2.4

$2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 x^{2}$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 x^{3} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{3} - 9 (2 x)$

단계 2.2.3.3

$2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 x^{3} - 18 x$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $2 x^{3} - 18 x$ 입니다.

$2 x^{3} - 18 x$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $2 x^{3} - 18 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$2 x^{3} - 18 x = 0$

단계 3.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2 x^{3} - 18 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

단계 3.2.1.2

$- 18 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

단계 3.2.1.3

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

단계 3.2.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

단계 3.2.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

단계 3.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

단계 3.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 3.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 3.5

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 3.5.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 3.6

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 3.6.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 3.7

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 3, 3$

단계 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - 3 {(0)}^{3}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = \frac{1}{10} \cdot 0 - 3 {(0)}^{3}$

단계 4.1.2.1.2

$\frac{1}{10}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3}$

단계 4.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

단계 4.1.2.1.4

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0$

단계 4.1.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

단계 4.1.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 4.2

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 0)$

단계 4.3

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ 에 $- 3$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot {(- 3)}^{5} - 3 {(- 3)}^{3}$

단계 4.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

$- 3$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (- 3) = \frac{1}{10} \cdot - 243 - 3 {(- 3)}^{3}$

단계 4.3.2.1.2

$\frac{1}{10}$ 와 $- 243$ 을 묶습니다.

$f (- 3) = \frac{- 243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

단계 4.3.2.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} - 3 {(- 3)}^{3}$

단계 4.3.2.1.4

지수를 더하여 $- 3$ 에 ${(- 3)}^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.1

$- 3$ 에 ${(- 3)}^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.4.1.1

$- 3$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + (- 3) {(- 3)}^{3}$

단계 4.3.2.1.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{1 + 3}$

단계 4.3.2.1.4.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + {(- 3)}^{4}$

단계 4.3.2.1.5

$- 3$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81$

단계 4.3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $81$ 을 표현하기 위해 $\frac{10}{10}$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + 81 \cdot \frac{10}{10}$

단계 4.3.2.3

$81$ 와 $\frac{10}{10}$ 을 묶습니다.

$f (- 3) = - \frac{243}{10} + \frac{81 \cdot 10}{10}$

단계 4.3.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (- 3) = \frac{- 243 + 81 \cdot 10}{10}$

단계 4.3.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.5.1

$81$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$f (- 3) = \frac{- 243 + 810}{10}$

단계 4.3.2.5.2

$- 243$ 를 $810$ 에 더합니다.

$f (- 3) = \frac{567}{10}$

단계 4.3.2.6

최종 답은 $\frac{567}{10}$ 입니다.

$\frac{567}{10}$

단계 4.4

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ 에 $- 3$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 3, \frac{567}{10})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 3, \frac{567}{10})$

단계 4.5

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ 에 $3$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot {(3)}^{5} - 3 {(3)}^{3}$

단계 4.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1.1

$3$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (3) = \frac{1}{10} \cdot 243 - 3 {(3)}^{3}$

단계 4.5.2.1.2

$\frac{1}{10}$ 와 $243$ 을 묶습니다.

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 {(3)}^{3}$

단계 4.5.2.1.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (3) = \frac{243}{10} - 3 \cdot 27$

단계 4.5.2.1.4

$- 3$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$f (3) = \frac{243}{10} - 81$

단계 4.5.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 81$ 을 표현하기 위해 $\frac{10}{10}$ 을 곱합니다.

$f (3) = \frac{243}{10} - 81 \cdot \frac{10}{10}$

단계 4.5.2.3

$- 81$ 와 $\frac{10}{10}$ 을 묶습니다.

$f (3) = \frac{243}{10} + \frac{- 81 \cdot 10}{10}$

단계 4.5.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (3) = \frac{243 - 81 \cdot 10}{10}$

단계 4.5.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.5.1

$- 81$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$f (3) = \frac{243 - 810}{10}$

단계 4.5.2.5.2

$243$ 에서 $810$ 을 뺍니다.

$f (3) = \frac{- 567}{10}$

단계 4.5.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (3) = - \frac{567}{10}$

단계 4.5.2.7

최종 답은 $- \frac{567}{10}$ 입니다.

$- \frac{567}{10}$

단계 4.6

$f (x) = \frac{1}{10} x^{5} - 3 x^{3}$ 에 $3$ 을 대입하여 구한 점은 $(3, - \frac{567}{10})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(3, - \frac{567}{10})$

단계 4.7

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, 0), (- 3, \frac{567}{10}), (3, - \frac{567}{10})$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 3)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 3.1) = 2 {(- 3.1)}^{3} - 18 \cdot - 3.1$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 3.1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 3.1) = 2 \cdot - 29.791 - 18 \cdot - 3.1$

단계 6.2.1.2

$2$ 에 $- 29.791$ 을 곱합니다.

$f'' (- 3.1) = - 59.582 - 18 \cdot - 3.1$

단계 6.2.1.3

$- 18$ 에 $- 3.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 3.1) = - 59.582 + 55.8$

단계 6.2.2

$- 59.582$ 를 $55.8$ 에 더합니다.

$f'' (- 3.1) = - 3.782$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 3.782$ 입니다.

$- 3.782$

단계 6.3

$- 3.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 3.782$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, - 3)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 3)$ 에서 감소함

단계 7

$(- 3, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{3}{2}$ 을 대입합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 18 (- \frac{3}{2})$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1.1

$- \frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 18 (- \frac{3}{2})$

단계 7.2.1.1.2

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 18 (- \frac{3}{2})$

단계 7.2.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

단계 7.2.1.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 18 (- \frac{3}{2})$

단계 7.2.1.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- \frac{27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

단계 7.2.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.5.1

$- \frac{27}{8}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{8}) - 18 (- \frac{3}{2})$

단계 7.2.1.5.2

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 (4)}) - 18 (- \frac{3}{2})$

단계 7.2.1.5.3

공약수로 약분합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{- 27}{2 \cdot 4}) - 18 (- \frac{3}{2})$

단계 7.2.1.5.4

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

단계 7.2.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (- \frac{3}{2})$

단계 7.2.1.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.7.1

$- \frac{3}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 18 (\frac{- 3}{2})$

단계 7.2.1.7.2

$- 18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{- 3}{2})$

단계 7.2.1.7.3

공약수로 약분합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{- 3}{2}))$

단계 7.2.1.7.4

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} - 9 \cdot - 3$

단계 7.2.1.8

$- 9$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27$

단계 7.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $27$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4}$

단계 7.2.3

$27$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4}$

단계 7.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 27 \cdot 4}{4}$

단계 7.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.5.1

$27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 108}{4}$

단계 7.2.5.2

$- 27$ 를 $108$ 에 더합니다.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4}$

단계 7.2.6

최종 답은 $\frac{81}{4}$ 입니다.

$\frac{81}{4}$

단계 7.3

$- \frac{3}{2}$ 에서의 이계도함수는 $20.25$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- 3, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- 3, 0)$ 에서 증가함

단계 8

$(0, 3)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3}{2}$ 을 대입합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 18 (\frac{3}{2})$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$\frac{3}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

단계 8.2.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 18 (\frac{3}{2})$

단계 8.2.1.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 18 (\frac{3}{2})$

단계 8.2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.4.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 18 (\frac{3}{2})$

단계 8.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 18 (\frac{3}{2})$

단계 8.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 18 (\frac{3}{2})$

단계 8.2.1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.5.1

$- 18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 (- 9) (\frac{3}{2})$

단계 8.2.1.5.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + 2 \cdot (- 9 (\frac{3}{2}))$

단계 8.2.1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \cdot 3$

단계 8.2.1.6

$- 9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27$

단계 8.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 27$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4}$

단계 8.2.3

$- 27$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4}$

단계 8.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 4}{4}$

단계 8.2.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.5.1

$- 27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108}{4}$

단계 8.2.5.2

$27$ 에서 $108$ 을 뺍니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 81}{4}$

단계 8.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (\frac{3}{2}) = - \frac{81}{4}$

단계 8.2.7

최종 답은 $- \frac{81}{4}$ 입니다.

$- \frac{81}{4}$

단계 8.3

$\frac{3}{2}$ 에서의 2차 미분값은 $- 20.25$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(0, 3)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(0, 3)$ 에서 감소함

단계 9

$(3, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3.1$ 을 대입합니다.

$f'' (3.1) = 2 {(3.1)}^{3} - 18 \cdot 3.1$

단계 9.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

$3.1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (3.1) = 2 \cdot 29.791 - 18 \cdot 3.1$

단계 9.2.1.2

$2$ 에 $29.791$ 을 곱합니다.

$f'' (3.1) = 59.582 - 18 \cdot 3.1$

단계 9.2.1.3

$- 18$ 에 $3.1$ 을 곱합니다.

$f'' (3.1) = 59.582 - 55.8$

단계 9.2.2

$59.582$ 에서 $55.8$ 을 뺍니다.

$f'' (3.1) = 3.782$

단계 9.2.3

최종 답은 $3.782$ 입니다.

$3.782$

단계 9.3

$3.1$ 에서의 이계도함수는 $3.782$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(3, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(3, \infty)$ 에서 증가함

단계 10

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$ 입니다.

$(- 3, \frac{567}{10}), (0, 0), (3, - \frac{567}{10})$

단계 11