미적분 예제

$y \cdot 2^{y} = x$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y \cdot 2^{y}) = \frac{d}{d x} (x)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

$f (x) = y$ , $g (x) = 2^{y}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \frac{d}{d x} [2^{y}] + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2

$f (x) = 2^{x}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$y (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.2

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$y (2^{y} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$

단계 2.5.2

$2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y \cdot 2^{y} \ln (2) y' + 2^{y} y'$

단계 3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y' = 1$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y' = 1$

단계 5.1.2

$\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y y' \cdot 2^{y} \ln (2) + y' \cdot 2^{y} = 1$

단계 5.2

$y y' \cdot (2^{y} \ln (2)) + y' \cdot 2^{y}$ 에서 $y' \cdot 2^{y}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$y y' \cdot (2^{y} \ln (2))$ 에서 $y' \cdot 2^{y}$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot 2^{y} = 1$

단계 5.2.2

$y' \cdot 2^{y}$ 에서 $y' \cdot 2^{y}$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot (2^{y} (1)) = 1$

단계 5.2.3

$y' \cdot 2^{y} (y \cdot \ln (2)) + y' \cdot 2^{y} \cdot 1$ 에서 $y' \cdot 2^{y}$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2) + 1)) = 1$

단계 5.3

$y$ 에 $\ln (2)$ 을 곱합니다.

$y' \cdot (2^{y} (y (\ln (2)) + 1)) = 1$

단계 5.4

$y$ 에 $\ln (2)$ 을 곱합니다.

$y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$

단계 5.5

$y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ 의 각 항을 $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ 의 각 항을 $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

단계 5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.2.1

$2^{y}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

단계 5.5.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

단계 5.5.2.2

$y \ln (2) + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

단계 5.5.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$