미적분 예제

$y = \sqrt[3]{x^{2} + 5}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x^{2} + 5}$ 을(를) ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3}})$

단계 3

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = x^{2} + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

단계 4.1.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

단계 4.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

단계 4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

단계 4.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

단계 4.5.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

단계 4.6

분수를 통분합니다.

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단계 4.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

단계 4.6.2

$\frac{1}{3}$ 와 ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

단계 4.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

단계 4.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

단계 4.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

단계 4.9

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)$

단계 4.10

분수를 통분합니다.

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단계 4.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)$

단계 4.10.2

$2$ 와 $\frac{1}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}} x$

단계 4.10.3

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{2}{3}}}$