미적분 예제

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

단계 1

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} d x$

단계 4

먼저 $u_{2} = 1 + e^{- x}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - e^{- x} d x$ 이므로 $- \frac{1}{e^{- x}} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{2} = 1 + e^{- x}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$1 + e^{- x}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

단계 4.1.2

미분합니다.

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단계 4.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 4.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$0 + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 4.1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + e^{- x} \cdot - 1$

단계 4.1.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$0 - 1 \cdot e^{- x}$

단계 4.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$0 - e^{- x}$

단계 4.1.4

$0$ 에서 $e^{- x}$ 을 뺍니다.

$- e^{- x}$

단계 4.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 5

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 6

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 7

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

단계 8

간단히 합니다.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

단계 9

$u_{2}$ 를 모두 $1 + e^{- x}$ 로 바꿉니다.

$- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$

단계 10

답은 함수 $f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$