미적분 예제

$x y^{2} - \sin (x + y) + y$

단계 1

합의 법칙에 의해 $x y^{2} - \sin (x + y) + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$y^{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y^{2}$ 의 미분은 $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x + y)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x + y)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ 입니다.

$y^{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + y$ 로 바꿉니다.

$y^{2} - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$y^{2} - (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $x + y$ 로 바꿉니다.

$y^{2} - (\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$y^{2} - (\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} - (\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.5

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$y^{2} - (\cos (x + y) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.6

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y^{2} - (\cos (x + y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.7

$\cos (x + y)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} - \cos (x + y) + \frac{d}{d x} [y]$

단계 4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

$y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y$ 입니다.

$y^{2} - \cos (x + y) + 0$

단계 4.2

$y^{2} - \cos (x + y)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y^{2} - \cos (x + y)$