미적분 예제

$4 \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \sin (t)$ 라고 하면 $d x = \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\cos (t)$ 는 양수입니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

단계 2.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

단계 2.2.2

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

단계 2.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

단계 2.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

단계 3

$\sin^{2} (t)$ 로 인수분해합니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

단계 4

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sin^{2} (t)$ 를 $1 - \cos^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

단계 5

먼저 $u = \cos (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (t) d t$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = \cos (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\cos (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

단계 5.1.2

$\cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- \sin (t)$ 입니다.

$- \sin (t)$

단계 5.2

$u = \cos (t)$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \cos (0)$

단계 5.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 5.4

$u = \cos (t)$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

단계 5.5

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{upper} = 0$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$4 \int_{1}^{0} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

단계 6

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ 을 곱합니다.

$4 \int_{1}^{0} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- 1 u^{2}$ 을 $- u^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 7.2

지수를 더하여 $u^{2}$ 에 $u^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

단계 7.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$4 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{4} d u$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$4 (\int_{1}^{0} - u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

단계 9

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (- \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$4 (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

단계 11

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$4 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$4 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0})$

단계 13

$\frac{1}{5}$ 와 $u^{5}$ 을 묶습니다.

$4 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

단계 14

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$0$ , $1$ 일 때, $\frac{u^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$4 (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

단계 14.2

$0$ , $1$ 일 때, $\frac{u^{5}}{5}$ 값을 계산합니다.

$4 (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 (- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.2

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.2.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$4 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 (- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.2.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 (- (0 - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 (- (0 - \frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.4

$0$ 에서 $\frac{1}{3}$ 을 뺍니다.

$4 (- - \frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 (1 (\frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.6

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.7

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 (\frac{1}{3} + \frac{0}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.8

$0$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.8.1

$0$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{1}{3} + \frac{5 (0)}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.8.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 (\frac{1}{3} + \frac{0}{1} - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.8.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1^{5}}{5})$

단계 14.3.9

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1}{5})$

단계 14.3.10

$0$ 에서 $\frac{1}{5}$ 을 뺍니다.

$4 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

단계 14.3.11

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

단계 14.3.12

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

단계 14.3.13

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.13.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

단계 14.3.13.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

단계 14.3.13.3

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

단계 14.3.13.4

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

단계 14.3.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 \frac{5 - 3}{15}$

단계 14.3.15

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$4 (\frac{2}{15})$

단계 14.3.16

$4$ 와 $\frac{2}{15}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cdot 2}{15}$

단계 14.3.17

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{15}$

단계 15

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{8}{15}$

소수 형태:

$0.5\overline{3}$

단계 16