미적분 예제

$y = 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}}$

단계 1

$f (x) = 2^{5 x}$ , $g (x) = 3^{4 x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{5 x} \frac{d}{d x} [3^{4 x^{2}}] + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

단계 2

$f (x) = 3^{x}$ , $g (x) = 4 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$2^{5 x} (\frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

단계 2.2

$a$ = $3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{5 x} (3^{u_{1}} \ln (3) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$2^{5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

단계 3

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2^{5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

단계 3.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2^{2} \cdot 2^{5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (\frac{d}{d x} [x^{2}])) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

단계 4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (\frac{d}{d x} [x^{2}])) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

단계 5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (2 x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

단계 6

지수를 더하여 $2^{2 + 5 x}$ 에 $2$ 을 곱합니다.

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단계 6.1

$2$ 를 옮깁니다.

$2 \cdot 2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

단계 6.2

$2$ 에 $2^{2 + 5 x}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$2^{1} \cdot 2^{2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

단계 6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2^{1 + 2 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

단계 6.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2^{5 x}]$

단계 7

$f (x) = 2^{x}$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [2^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 7.2

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{u_{2}} \ln (2) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 7.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 8

미분합니다.

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단계 8.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 8.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) (5 \cdot 1))$

단계 8.3

식을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (2^{5 x} \ln (2) \cdot 5)$

단계 8.3.2

$2^{5 x} \ln (2)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$2^{3 + 5 x} (3^{4 x^{2}} \ln (3) (x)) + 3^{4 x^{2}} (5 \cdot (2^{5 x} \ln (2)))$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

항을 다시 정렬합니다.

$3^{4 x^{2}} \cdot 2^{3 + 5 x} x \ln (3) + 5 \cdot 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}} \ln (2)$

단계 9.2

$3^{4 x^{2}} \cdot 2^{3 + 5 x} x \ln (3) + 5 \cdot 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}} \ln (2)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x \cdot 3^{4 x^{2}} \cdot 2^{3 + 5 x} \ln (3) + 5 \cdot 2^{5 x} \cdot 3^{4 x^{2}} \ln (2)$