미적분 예제

$\int_{0}^{\sqrt[3]{π}} x^{2} \cos (x^{3}) d x$

단계 1

먼저 $u = x^{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2}$

단계 1.2

$u = x^{3}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0^{3}$

단계 1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = x^{3}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = {\sqrt[3]{π}}^{3}$

단계 1.5

${\sqrt[3]{π}}^{3}$ 을 $π$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{π}$ 을(를) $π^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{3}})}^{3}$

단계 1.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u_{upper} = π^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

단계 1.5.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$u_{upper} = π^{\frac{3}{3}}$

단계 1.5.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = π^{\frac{3}{3}}$

단계 1.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = π^{1}$

단계 1.5.5

간단히 합니다.

$u_{upper} = π$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{3} d u$

단계 2

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{3} d u$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

단계 4

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{3} \sin (u)]_{0}^{π}$

단계 5

$π$ , $0$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{3} (\sin (π) - \sin (0))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{3} (\sin (π) - 0)$

단계 6.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\sin (π) + 0)$

단계 6.3

$\sin (π)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} \sin (π)$

단계 6.4

$\frac{1}{3}$ 와 $\sin (π)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (π)}{3}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{\sin (0)}{3}$

단계 7.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{0}{3}$

단계 7.2

$0$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$0$