미적분 예제

$\int \frac{2 x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{x^{3}}{x^{2} - 4} d x$

단계 2

$x^{3}$ 을 $x^{2} - 4$ 로 나눕니다.

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단계 2.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 2.2

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 2.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

단계 2.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} + 0 - 4 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

단계 2.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

단계 2.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$0$

단계 2.7

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$2 \int x + \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 (\int x d x + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int \frac{4 x}{x^{2} - 4} d x)$

단계 5

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{x}{x^{2} - 4} d x)$

단계 6

먼저 $u = x^{2} - 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1

$u = x^{2} - 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$x^{2} - 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

단계 6.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 6.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 6.1.4

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 6.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

단계 7.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 \cdot u} d u)$

단계 7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 \int \frac{1}{2 u} d u)$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 9.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 9.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 9.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 9.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + \frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u)$

단계 9.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 \int \frac{1}{u} d u)$

단계 10

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C + 2 (\ln (| u |) + C))$

단계 11

간단히 합니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| u |)) + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $x^{2} - 4$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |)) + C$

단계 13.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot \frac{2}{2}) + C$

단계 13.3

$2 \ln (| x^{2} - 4 |)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2}) + C$

단계 13.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

단계 13.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.5.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2}{2} + C$

단계 13.5.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} + 2 \ln (| x^{2} - 4 |) \cdot 2 + C$

단계 13.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 4 \ln (| x^{2} - 4 |) + C$