미적분 예제

$\int 1 + {(\sin (x) - \cos (x))}^{2} d x$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ 을 $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\int 1 + (\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

단계 1.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 1 + \sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

단계 1.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 1 + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

단계 1.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 1 + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

단계 1.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$\sin (x) \sin (x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1.1

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 1 + \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

단계 1.1.3.1.1.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 1 + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

단계 1.1.3.1.1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 1 + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

단계 1.1.3.1.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 1 + \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

단계 1.1.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

단계 1.1.3.1.3

$- \cos (x) (- \cos (x))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

단계 1.1.3.1.3.2

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

단계 1.1.3.1.3.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

단계 1.1.3.1.3.4

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

단계 1.1.3.1.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

단계 1.1.3.1.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

단계 1.1.3.2

$- \sin (x) \cos (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

단계 1.1.3.3

$- \cos (x) \sin (x)$ 에서 $\cos (x) \sin (x)$ 을 뺍니다.

$\int 1 + \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

단계 1.1.4

$\cos^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$\int 1 + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

단계 1.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int 1 + 1 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

단계 1.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 2 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 2 d x + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$2 x + C + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

단계 4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 x + C - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

단계 5

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 5.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 x + C - 2 \int - u d u$

단계 6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 x + C - 2 (- \int u d u)$

단계 7

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 x + C + 2 \int u d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$2 x + C + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

간단히 합니다.

$2 x + 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

단계 9.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$2 x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

단계 9.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$2 x + 1 u^{2} + C$

단계 9.2.3

$u^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x + u^{2} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$2 x + \cos^{2} (x) + C$