미적분 예제

$\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$

단계 1

$\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x} d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

단계 5

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

단계 6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

단계 6.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

단계 6.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

단계 6.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

단계 6.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

단계 8

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

단계 9

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 e^{- x} d x$

단계 10

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int e^{- x} d x$

단계 11

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 11.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 11.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 11.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int - e^{u} d u$

단계 12

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- \int e^{u} d u)$

단계 13

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 2 \int e^{u} d u$

단계 14

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 2 (e^{u} + C)$

단계 15

간단히 합니다.

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{u} + C$

단계 16

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{- x} + C$

단계 17

답은 함수 $f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{- x} + C$