미적분 예제

$- \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$

단계 1

$- \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$- \frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{3} x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.1.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.1.2.4

$- 3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.1.2.5

$\frac{- 3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.1.2.6

$- 3$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.1.2.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.6.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.1.2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.1.2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.1.2.6.2.4

$- x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$- 9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 9 x^{2}$ 의 미분은 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{2} - 9 (2 x)$

단계 2.1.3.3

$2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - x^{2} - 18 x$

단계 2.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $- x^{2} - 18 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

단계 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

단계 2.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

단계 2.2.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 18 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$- 18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 18 x$ 의 미분은 $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 x - 18 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x - 18 \cdot 1$

단계 2.2.3.3

$- 18$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 2 x - 18$

단계 2.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- 2 x - 18$ 입니다.

$- 2 x - 18$

단계 3

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- 2 x - 18 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- 2 x - 18 = 0$

단계 3.2

방정식의 양변에 $18$ 를 더합니다.

$- 2 x = 18$

단계 3.3

$- 2 x = 18$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 2 x = 18$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

단계 3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

단계 3.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{18}{- 2}$

단계 3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$18$ 을 $- 2$ 로 나눕니다.

$x = - 9$

단계 4

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ 에 $- 9$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 9$ 을 대입합니다.

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 9)}^{3} - 9 {(- 9)}^{2}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$- 9$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

단계 4.1.2.1.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.2.1

$- \frac{1}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

단계 4.1.2.1.2.2

$- 729$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 243)) - 9 {(- 9)}^{2}$

단계 4.1.2.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 243) - 9 {(- 9)}^{2}$

단계 4.1.2.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$f (- 9) = - 1 \cdot - 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

단계 4.1.2.1.3

$- 1$ 에 $- 243$ 을 곱합니다.

$f (- 9) = 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

단계 4.1.2.1.4

지수를 더하여 $- 9$ 에 ${(- 9)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.4.1

$- 9$ 에 ${(- 9)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.4.1.1

$- 9$ 를 $1$ 승 합니다.

$f (- 9) = 243 + (- 9) {(- 9)}^{2}$

단계 4.1.2.1.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{1 + 2}$

단계 4.1.2.1.4.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{3}$

단계 4.1.2.1.5

$- 9$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 9) = 243 - 729$

단계 4.1.2.2

$243$ 에서 $729$ 을 뺍니다.

$f (- 9) = - 486$

단계 4.1.2.3

최종 답은 $- 486$ 입니다.

$- 486$

단계 4.2

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ 에 $- 9$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 9, - 486)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 9, - 486)$

단계 5

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 9)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 9.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 9.1) = - 2 \cdot - 9.1 - 18$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$- 2$ 에 $- 9.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 9.1) = 18.2 - 18$

단계 6.2.2

$18.2$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$f'' (- 9.1) = 0.2$

단계 6.2.3

최종 답은 $0.2$ 입니다.

$0.2$

단계 6.3

$- 9.1$ 에서의 이계도함수는 $0.2$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, - 9)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 9)$ 에서 증가함

단계 7

$(- 9, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 8.9$ 을 대입합니다.

$f'' (- 8.9) = - 2 \cdot - 8.9 - 18$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$- 2$ 에 $- 8.9$ 을 곱합니다.

$f'' (- 8.9) = 17.8 - 18$

단계 7.2.2

$17.8$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$f'' (- 8.9) = - 0.2$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 0.2$ 입니다.

$- 0.2$

단계 7.3

$- 8.9$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.2$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- 9, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- 9, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(- 9, - 486)$ 입니다.

$(- 9, - 486)$

단계 9