미적분 예제

$\int 5 \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

단계 2

먼저 $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{3} = 3 \tan (3 x) d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{3} = \tan (3 x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{3}$ 와 $d$ $u_{3}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ 로 둡니다. $\frac{d u_{3}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$\ln (\sec (3 x))$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec (3 x))]$

단계 2.1.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sec (3 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sec (3 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

단계 2.1.2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

단계 2.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sec (3 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

단계 2.1.3

$\sec (3 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

단계 2.1.4

$\frac{1}{\cos (3 x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

단계 2.1.5

$\cos (3 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

단계 2.1.6

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.1.6.2

$\sec (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 입니다.

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.1.6.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.1.7

미분합니다.

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단계 2.1.7.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.7.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

단계 2.1.7.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1.7.3.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

단계 2.1.7.3.2

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

단계 2.1.8

간단히 합니다.

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단계 2.1.8.1

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

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단계 2.1.8.1.1

괄호를 표시합니다.

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

단계 2.1.8.1.2

$\cos (3 x)$ 와 $\sec (3 x)$ 을 다시 정렬합니다.

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

단계 2.1.8.1.3

$3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

단계 2.1.8.1.4

공약수로 약분합니다.

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

단계 2.1.8.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 \tan (3 x)$

단계 2.1.8.3

$\tan (3 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

단계 2.1.8.4

$3$ 와 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

단계 2.1.8.5

분수를 나눕니다.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

단계 2.1.8.6

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 을 $\tan (3 x)$ 로 변환합니다.

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

단계 2.1.8.7

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3 \tan (3 x)$

단계 2.2

$u_{3}$ 와 $d u_{3}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$5 \int u_{3} \frac{1}{3} d u_{3}$

단계 3

$u_{3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$5 \int \frac{u_{3}}{3} d u_{3}$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{3}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (\frac{1}{3} \int u_{3} d u_{3})$

단계 5

$\frac{1}{3}$ 와 $5$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{3} \int u_{3} d u_{3}$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u_{3}$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$ 을 $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{5}{3}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{3 \cdot 2} {u_{3}}^{2} + C$

단계 7.2.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{6} {u_{3}}^{2} + C$

단계 8

$u_{3}$ 를 모두 $\ln (\sec (3 x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{6} \ln^{2} (\sec (3 x)) + C$