미적분 예제

$y = \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

단계 2

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ 입니다.

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

단계 3.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 3.3

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

단계 3.4

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\sec^{2} (x) + \frac{3}{3} (\tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

단계 3.5

$\tan^{2} (x)$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3} \sec^{2} (x)$

단계 3.6

$\frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3}$ 와 $\sec^{2} (x)$ 을 묶습니다.

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3 \sec^{2} (x)}{3}$

단계 3.7

$\tan^{2} (x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

단계 3.8

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.8.1

공약수로 약분합니다.

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

단계 3.8.2

$\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 다시 정렬합니다.

$\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

단계 4.2

$\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ 에서 $\sec^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.2.1

$\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ 에서 $\sec^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x)$

단계 4.2.2

$1$ 을 곱합니다.

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$

단계 4.2.3

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$ 에서 $\sec^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

단계 4.3

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

단계 4.4

지수를 더하여 $\sec^{2} (x)$ 에 $\sec^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

${\sec (x)}^{2 + 2}$

단계 4.4.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\sec^{4} (x)$