미적분 예제

$\int_{1}^{e} \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x} d x$

단계 1

먼저 $u = \ln (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{x} d x$ 이므로 $x d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = \ln (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\ln (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{x}$

단계 1.2

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \ln (1)$

단계 1.3

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \ln (e)$

단계 1.5

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{1} \sqrt{u} d u$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

단계 4

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.1

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.2

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.3

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

단계 4.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

단계 4.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

단계 4.2.6

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

단계 4.2.7

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

단계 4.2.8

$0$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} + 0$

단계 4.2.9

$\frac{2}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2}{3}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2}{3}$

소수 형태:

$0.\overline{6}$