미적분 예제

$\int \frac{1}{θ^{2}} \sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

단계 1

간단히 합니다.

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단계 1.1

$\sin (\frac{1}{θ})$ 와 $\frac{1}{θ^{2}}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} \cdot \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

단계 1.2

$\frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$ 와 $\cos (\frac{1}{θ})$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

단계 2

먼저 $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ 이므로 $- d u_{2} = \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d θ}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$\sin (\frac{1}{θ})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d θ} [\sin (\frac{1}{θ})]$

단계 2.1.2

$f (θ) = \sin (θ)$ , $g (θ) = \frac{1}{θ}$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{1}{θ}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

단계 2.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

단계 2.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{1}{θ}$ 로 바꿉니다.

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

단계 2.1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.3.1

$\frac{1}{θ}$ 을 $θ^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

단계 2.1.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 는 $n θ^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (\frac{1}{θ}) (- θ^{- 2})$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\cos (\frac{1}{θ}) (- \frac{1}{θ^{2}})$

단계 2.1.4.2

$\cos (\frac{1}{θ})$ 와 $\frac{1}{θ^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$

단계 2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int - u_{2} d u_{2}$

단계 3

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int u_{2} d u_{2}$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u_{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

단계 5

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 을 $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

단계 6

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (\frac{1}{θ})$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} \sin^{2} (\frac{1}{θ}) + C$