미적분 예제

$f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int 2 \sin (6 x + 3) - 4 x d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 2 \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

단계 4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

단계 5

먼저 $u = 6 x + 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 6 d x$ 이므로 $\frac{1}{6} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = 6 x + 3$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$6 x + 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [6 x + 3]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $6 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 5.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 5.1.3.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 + \frac{d}{d x} [3]$

단계 5.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1.4.1

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$6 + 0$

단계 5.1.4.2

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \sin (u) \frac{1}{6} d u + \int - 4 x d x$

단계 6

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$2 \int \frac{\sin (u)}{6} d u + \int - 4 x d x$

단계 7

$\frac{1}{6}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u) + \int - 4 x d x$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{6}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

단계 8.2

$2$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

단계 8.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

단계 8.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

단계 8.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

단계 9

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) + \int - 4 x d x$

단계 10

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 \int x d x$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

간단히 합니다.

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

단계 12.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

단계 12.2.2

$- 4$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C$

단계 12.2.3

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.1

$- 4 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C$

단계 12.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C$

단계 12.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

단계 12.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C$

단계 12.2.3.2.4

$- 2 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{\cos (u)}{3} - 2 x^{2} + C$

단계 13

$u$ 를 모두 $6 x + 3$ 로 바꿉니다.

$- \frac{\cos (6 x + 3)}{3} - 2 x^{2} + C$

단계 14

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

단계 15

답은 함수 $f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$