미적분 예제

$\int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t$

단계 1

$t_{1}$ 이 $\infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{t_{1}} e^{- s t} d t$

단계 2

먼저 $u = - s t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - s d t$ 이므로 $- \frac{1}{s} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = - s t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$- s t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [- s t]$

단계 2.1.2

$- s$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- s t$ 의 미분은 $- s \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- s \frac{d}{d t} [t]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- s \cdot 1$

단계 2.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- s$

단계 2.2

$u = - s t$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - s \cdot 0$

단계 2.3

$- s \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0 s$

단계 2.3.2

$0$ 에 $s$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 2.4

$u = - s t$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - s t_{1}$

단계 2.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - s t_{1}$

단계 2.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{1}{s} d u$

단계 3.2

$\frac{1}{s}$ 와 $e^{u}$ 을 묶습니다.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - \frac{e^{u}}{s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - \frac{e^{u}}{s} d u$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \int_{0}^{- s t_{1}} \frac{e^{u}}{s} d u$

단계 5

$\frac{1}{s}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{s}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t_{1} \to \infty} - (\frac{1}{s} \int_{0}^{- s t_{1}} e^{u} d u)$

단계 6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{1}{s} e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$

단계 7

$e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$ 와 $\frac{1}{s}$ 을 묶습니다.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}}{s}$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- s t_{1}$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{(e^{- s t_{1}}) - e^{0}}{s}$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1 \cdot 1}{s}$

단계 8.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

단계 9

극한값을 계산합니다.

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단계 9.1

극한값을 계산합니다.

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단계 9.1.1

$- 1$ 항은 $t_{1}$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- lim_{t_{1} \to \infty} \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

단계 9.1.2

$\frac{1}{s}$ 항은 $t_{1}$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{s} lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - 1$

단계 9.1.3

$t_{1}$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- \frac{1}{s} (lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

단계 9.2

지수 $- s t_{1}$ 이 $- \infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $e^{- s t_{1}}$ 가 $0$ 에 가까워집니다.

$- \frac{1}{s} (0 - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

단계 9.3

극한값을 계산합니다.

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단계 9.3.1

$t_{1}$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- \frac{1}{s} (0 - 1 \cdot 1)$

단계 9.3.2

답을 간단히 합니다.

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단계 9.3.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{s} (0 - 1)$

단계 9.3.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$

단계 9.3.2.3

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 9.3.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{1}{s}$

단계 9.3.2.3.2

$\frac{1}{s}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{s}$