미적분 예제

$\int_{- 7}^{0} (\frac{y}{7} + \sqrt{y + 8}) d y$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} + \sqrt{y + 8} d y$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

단계 3

$\frac{1}{7}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{7}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{7} \int_{- 7}^{0} y d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $y$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} y^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

단계 5

먼저 $u = y + 8$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = y + 8$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$y + 8$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [y + 8]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $y + 8$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d y} [8]$

단계 5.1.4

$8$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$1 + 0$

단계 5.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 5.2

$u = y + 8$ 의 $y$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 7 + 8$

단계 5.3

$- 7$ 를 $8$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 5.4

$u = y + 8$ 의 $y$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 0 + 8$

단계 5.5

$0$ 를 $8$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 8$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} \sqrt{u} d u$

단계 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.1

$0$ , $- 7$ 일 때, $\frac{1}{2} y^{2}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

단계 8.2

$8$ , $1$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3

간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.2

$\frac{1}{2}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.3

$- 7$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} \cdot 49) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.4

$49$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7} (0 - 49 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.5

$- 49$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7} (0 + \frac{- 49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{7} (0 - \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.7

$0$ 에서 $\frac{49}{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{7} (- \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.8

$\frac{1}{7}$ 에 $\frac{49}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{49}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.9

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{49}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.10

$49$ 및 $14$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.10.1

$49$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{7 (7)}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.10.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.3.10.2.1

$14$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{7}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.11

$\frac{2}{3}$ 와 $8^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.12

$8$ 을 $2^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.13

${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 8.3.13.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.13.2

$3 (\frac{3}{2})$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.13.2.1

$3$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.13.2.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.14

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.15

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.17

$2$ 를 $9$ 에 더합니다.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

단계 8.3.18

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

단계 8.3.19

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

단계 8.3.20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

단계 8.3.21

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{7}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

단계 8.3.22

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 8.3.23

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 8.3.23.1

$\frac{7}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 8.3.23.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 8.3.23.3

$\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

단계 8.3.23.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

단계 8.3.24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 7 \cdot 3 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

단계 8.3.25

$- 7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 21 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

단계 8.3.26

$2^{\frac{11}{2}} - 2$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{- 21 + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 21$ 을 $- 1 (21)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (21) + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

단계 9.2

$2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

단계 9.3

$- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

단계 9.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

단계 10

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{21 - 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

단계 10.2

$- 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$- \frac{21 - (2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

단계 10.2.2

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{21 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

단계 10.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{21 - 2^{1 + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

단계 10.2.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

단계 10.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2 + 11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

단계 10.2.6

$2$ 를 $11$ 에 더합니다.

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

단계 10.3

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} + 4}{6}$

단계 10.4

$21$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

소수 형태:

$10.91827799 \dots$

단계 12