미적분 예제

$3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2} + 48$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2} + 48$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

단계 1.2.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 16 x^{3}$ 의 미분은 $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

단계 1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

단계 1.3.3

$3$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

단계 1.4

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.4.1

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x^{2}$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$

단계 1.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [48]$

단계 1.4.3

$2$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} [48]$

단계 1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.5.1

$48$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $48$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $48$ 입니다.

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x + 0$

단계 1.5.2

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{3}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 48 x^{2}$ 의 미분은 $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x]$

단계 2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x]$

단계 2.3.3

$2$ 에 $- 48$ 을 곱합니다.

$36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [48 x]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [48 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$48$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $48 x$ 의 미분은 $48 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$36 x^{2} - 96 x + 48 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$36 x^{2} - 96 x + 48 \cdot 1$

단계 2.4.3

$48$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 48$