미적분 예제

$\frac{3 - 5 x}{2 x^{2} - 3}$

단계 1

$f (x) = 3 - 5 x$ , $g (x) = 2 x^{2} - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 - 5 x] - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 - 5 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 가 됩니다.

$\frac{(2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 2.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{(2 x^{2} - 3) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 에 더합니다.

$\frac{(2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [- 5 x] - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 2.4

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(2 x^{2} - 3) (- 5 \frac{d}{d x} [x]) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 x^{2} - 3) (- 5 \cdot 1) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x^{2} - 3) \cdot - 5 - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 2.6.2

$2 x^{2} - 3$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$\frac{- 5 \cdot (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 2.8

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 2.10

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (4 x + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 2.11

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 2.12

식을 간단히 합니다.

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단계 2.12.1

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (4 x)}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 2.12.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - 4 (3 - 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 3 - 4 (3 - 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 3 + (- 4 \cdot 3 - 4 (- 5 x)) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 3 - 4 \cdot 3 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1.1

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 10 x^{2} - 5 \cdot - 3 - 4 \cdot 3 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 3.4.1.2

$- 5$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 4 \cdot 3 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 3.4.1.3

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 3.4.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x - 4 (- 5 (x \cdot x))}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 3.4.1.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x - 4 (- 5 x^{2})}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 3.4.1.5

$- 5$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x + 20 x^{2}}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 3.4.2

$- 10 x^{2}$ 를 $20 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{10 x^{2} + 15 - 12 x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

단계 3.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{10 x^{2} - 12 x + 15}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$