미적분 예제

$\int \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} + 1}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ 라고 하면 $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ 는 양수입니다.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\tan (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.2

$\frac{\tan (t)}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.2

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\tan (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.2

$\frac{\tan (t)}{2}$ 와 $\sec (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.3

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int 1 \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.4

$\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.5

$\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ 에 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

단계 2.2.6

$\tan (t) \sec (t)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot (\tan (t) \sec (t))} d t$

단계 2.2.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

단계 2.2.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

단계 2.2.8

$\sec^{2} (t)$ 및 $\sec (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.1

$\sec^{2} (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

단계 2.2.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.8.2.1

$\tan (t) \sec (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

단계 2.2.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

단계 2.2.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

단계 2.2.9

$\tan (t)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

단계 2.2.10

$\sec (t)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

단계 2.2.11

$\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

단계 2.2.12

$\cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.12.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

단계 2.2.12.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

단계 2.2.13

$\frac{1}{\sin (t)}$ 을 $\csc (t)$ 로 변환합니다.

$\int \csc (t) d t$

단계 3

$\csc (t)$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ 입니다.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

단계 4

$t$ 를 모두 $\arctan (2 x)$ 로 바꿉니다.

$\ln (| \csc (\arctan (2 x)) - \cot (\arctan (2 x)) |) + C$