미적분 예제

$y = x + \frac{1}{x}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x + \frac{1}{x})$

단계 2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x + \frac{1}{x}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$f (y) = 1$ , $g (y) = x$ 일 때 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 는 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x' + \frac{x \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

단계 3.3.2

$1$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

단계 3.3.3

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

단계 3.3.4

$x$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$x' + \frac{0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

단계 3.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x' + \frac{0 - x'}{x^{2}}$

단계 3.3.6

$0$ 에서 $x'$ 을 뺍니다.

$x' + \frac{- x'}{x^{2}}$

단계 3.3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' - \frac{x'}{x^{2}}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{x'}{x^{2}} + x'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = - \frac{x'}{x^{2}} + x'$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$

단계 5.2

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 5.2.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x^{2}, 1, 1$

단계 5.2.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x^{2}$

단계 5.3

$- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ 의 각 항에 $x^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ 의 각 항에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

단계 5.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$- \frac{x'}{x^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

단계 5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

단계 5.3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- x' + x' x^{2} = 1 x^{2}$

단계 5.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- x' + x' x^{2} = x^{2}$

단계 5.4

식을 풉니다.

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단계 5.4.1

$- x' + x' x^{2}$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

$- x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' \cdot - 1 + x' x^{2} = x^{2}$

단계 5.4.1.2

$x' x^{2}$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' \cdot - 1 + x' (x^{2}) = x^{2}$

단계 5.4.1.3

$x' \cdot - 1 + x' (x^{2})$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (- 1 + x^{2}) = x^{2}$

단계 5.4.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x' (- 1^{2} + x^{2}) = x^{2}$

단계 5.4.3

$- 1^{2}$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$x' (x^{2} - 1^{2}) = x^{2}$

단계 5.4.4

인수분해합니다.

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단계 5.4.4.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$x' ((x + 1) (x - 1)) = x^{2}$

단계 5.4.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$

단계 5.4.5

$x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ 의 각 항을 $(x + 1) (x - 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.5.1

$x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ 의 각 항을 $(x + 1) (x - 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.4.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.5.2.1

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.4.5.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.4.5.2.2

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 5.4.5.2.2.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$