미적분 예제

$f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$

단계 1

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 2

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

단계 3

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

단계 4

먼저 $u_{1} = \frac{x}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ 이므로 $2 d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{1} = \frac{x}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{x}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 4.1.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

단계 4.1.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 4.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

단계 5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

단계 5.3

$\sin^{2} (u_{1})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 6

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

단계 7

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 8

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (u_{1})$ 를 $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 10.2

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 10.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 10.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 10.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 10.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

단계 11

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 12

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 13

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

단계 14

먼저 $u_{2} = 2 u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$2 u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

단계 14.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 u_{1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 14.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 14.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 14.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 15

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

단계 16

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

단계 17

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

단계 18

간단히 합니다.

$2 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

단계 19

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

단계 19.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 u_{1}$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

단계 19.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

단계 20

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

단계 20.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (x)) + C$

단계 20.1.2

$\sin (x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2}) + C$

단계 20.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

단계 20.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.3.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

단계 20.3.2

수식을 다시 씁니다.

$x + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

단계 20.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.4.1

$- \frac{\sin (x)}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

단계 20.4.2

공약수로 약분합니다.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

단계 20.4.3

수식을 다시 씁니다.

$x - \sin (x) + C$

단계 21

답은 함수 $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $x - \sin (x) + C$