미적분 예제

$y = x^{3} {(2 x - 5)}^{4}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} {(2 x - 5)}^{4})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = {(2 x - 5)}^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}] + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 2 x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x - 5$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $2 x - 5$ 로 바꿉니다.

$x^{3} (4 {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $2 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$x^{3} (4 {(2 x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{3} (4 {(2 x - 5)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (4 {(2 x - 5)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{3} (4 {(2 x - 5)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.5

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$x^{3} (4 {(2 x - 5)}^{3} (2 + 0)) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{3} (4 {(2 x - 5)}^{3} \cdot 2) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.6.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x^{3} (8 {(2 x - 5)}^{3}) + {(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.7

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{3} (8 {(2 x - 5)}^{3}) + {(2 x - 5)}^{4} (3 x^{2})$

단계 3.3.8

${(2 x - 5)}^{4}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x^{3} (8 {(2 x - 5)}^{3}) + 3 \cdot {(2 x - 5)}^{4} x^{2}$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$x^{3} (8 {(2 x - 5)}^{3}) + 3 {(2 x - 5)}^{4} x^{2}$ 에서 $x^{2} {(2 x - 5)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.1.1

$x^{3} (8 {(2 x - 5)}^{3})$ 에서 $x^{2} {(2 x - 5)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (x \cdot (8)) + 3 {(2 x - 5)}^{4} x^{2}$

단계 3.4.1.2

$3 {(2 x - 5)}^{4} x^{2}$ 에서 $x^{2} {(2 x - 5)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (x \cdot (8)) + x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (3 (2 x - 5))$

단계 3.4.1.3

$x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (x \cdot (8)) + x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (3 (2 x - 5))$ 에서 $x^{2} {(2 x - 5)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (x \cdot (8) + 3 (2 x - 5))$

단계 3.4.2

$x$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (8 x + 3 (2 x - 5))$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (8 x + 3 (2 x - 5))$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} {(2 x - 5)}^{3} (8 x + 3 (2 x - 5))$