미적분 예제

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (a^{3} y) = \frac{d}{d x} (x^{2} (2 a^{2} - x^{2}))$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a^{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a^{3} y$ 의 미분은 $a^{3} \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$a^{3} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$a^{3} y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 2 a^{2} - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [2 a^{2} - x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $2 a^{2} - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$x^{2} (\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.2

$2 a^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2 a^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2 a^{2}$ 입니다.

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (- (2 x)) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (- 2 x) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{3} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$- 2 \cdot x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) (2 x)$

단계 3.6

$2 a^{2} - x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- 2 x^{3} + 2 \cdot (2 a^{2} - x^{2}) x$

단계 3.7

간단히 합니다.

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단계 3.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 x^{3} + (2 (2 a^{2}) + 2 (- x^{2})) x$

단계 3.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 x^{3} + 2 (2 a^{2}) x + 2 (- x^{2}) x$

단계 3.7.3

항을 묶습니다.

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단계 3.7.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x + 2 (- x^{2}) x$

단계 3.7.3.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{2} x$

단계 3.7.3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 (x^{1} x^{2})$

단계 3.7.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{1 + 2}$

단계 3.7.3.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{3}$

단계 3.7.3.6

$- 2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$- 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

단계 5

$a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ 의 각 항을 $a^{3}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ 의 각 항을 $a^{3}$ 로 나눕니다.

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$a^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

단계 5.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

단계 5.3.1.2

$a^{2}$ 및 $a^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.1.2.1

$4 a^{2} x$ 에서 $a^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{3}}$

단계 5.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.1.2.2.1

$a^{3}$ 에서 $a^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

단계 5.3.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

단계 5.3.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$