미적분 예제

$y = \frac{e^{x}}{x}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 1.3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

단계 1.4.2

$e^{x} x - e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.2.1

$e^{x} x$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

단계 1.4.2.2

$- e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

단계 1.4.2.3

$e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = e^{x} (x - 1)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 2.2

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 2.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4

미분합니다.

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단계 2.4.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.4.4.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

단계 2.6

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.6.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

단계 2.6.2

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

단계 2.6.2.2

$x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.2.1

$x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

단계 2.6.2.2.2

$- 2 e^{x} (x - 1) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

단계 2.6.2.2.3

$x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

단계 2.7

공약수로 약분합니다.

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단계 2.7.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

단계 2.7.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

단계 2.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

단계 2.8

간단히 합니다.

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단계 2.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

단계 2.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

단계 2.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 2.8.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.8.4.1

$x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 2.8.4.1.1

인수가 항 $x e^{x}$ 과(와) $x (- 1 e^{x})$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = \frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 2.8.4.1.2

$e^{x} x$ 에서 $e^{x} x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 2.8.4.1.3

$x (x e^{x})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 2.8.4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.8.4.2.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.8.4.2.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 2.8.4.2.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 2.8.4.2.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

단계 2.8.4.3

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

단계 2.8.5

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = \frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

단계 2.8.6

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4.1.3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 4.1.3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

단계 4.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

단계 4.1.4.2

$e^{x} x - e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.4.2.1

$e^{x} x$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

단계 4.1.4.2.2

$- e^{x}$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

단계 4.1.4.2.3

$e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ 에서 $e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ 입니다.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$e^{x} (x - 1) = 0$

단계 5.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

단계 5.3.2

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.3.2.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 5.3.2.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.3.2.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 5.3.2.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 5.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 5.3.3

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.3.3.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 5.3.3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5.3.4

$e^{x} (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 6.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 6.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 6.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 6.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 7

계산할 임계점.

$x = 1$

단계 8

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{{(1)}^{2} e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{{(1)}^{3}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

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단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1 e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

단계 9.1.2

$e^{1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

단계 9.1.3

간단히 합니다.

$\frac{e - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

단계 9.1.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e - 2 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

단계 9.1.5

간단히 합니다.

$\frac{e - 2 e + 2 e^{1}}{1^{3}}$

단계 9.1.6

간단히 합니다.

$\frac{e - 2 e + 2 e}{1^{3}}$

단계 9.1.7

$e$ 에서 $2 e$ 을 뺍니다.

$\frac{- e + 2 e}{1^{3}}$

단계 9.1.8

$- e$ 를 $2 e$ 에 더합니다.

$\frac{e}{1^{3}}$

단계 9.2

식을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{e}{1}$

단계 9.2.2

$e$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 1$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$e^{1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (1) = e$

단계 11.2.2

최종 답은 $e$ 입니다.

$y = e$

단계 12

$f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ 에 대한 극값입니다.

$(1, e)$ 은 극솟값임

단계 13