미적분 예제

$y = - \frac{1}{2} x^{4} + 3 x^{\frac{5}{3}} + 2 x$

단계 1

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{2} x^{4} + 3 x^{\frac{5}{3}} + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{2} x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.4

$- 4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.5

$\frac{- 4}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.6

$- 4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.1

$- 4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.6.2.4

$- 2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{\frac{5}{3}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ 입니다.

$- 2 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.2

$n = \frac{5}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.6.2

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.7

$\frac{5}{3}$ 와 $x^{\frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$- 2 x^{3} + 3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.8

$3$ 와 $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.9

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{3} + \frac{15 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.10

$15 x^{\frac{2}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.11

공약수로 약분합니다.

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단계 3.11.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.11.2

공약수로 약분합니다.

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.11.3

수식을 다시 씁니다.

$- 2 x^{3} + \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 3.11.4

$5 x^{\frac{2}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2 \cdot 1$

단계 4.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2$