미적분 예제

$\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

단계 1

$\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

단계 2

함수 $F (x)$ 는 도함수 $f (x)$ 의 부정 적분을 계산하여 구할 수 있습니다.

$F (x) = \int f (x) d x$

단계 3

적분식을 세워 풉니다.

$F (x) = \int \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1} d x$

단계 4

$7 x^{4} + 5$ 을 $x^{2} + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

단계 4.2

피제수 $7 x^{4}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

단계 4.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

단계 4.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $7 x^{4} + 0 + 7 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

단계 4.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

단계 4.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

단계 4.7

피제수 $- 7 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

단계 4.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

단계 4.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 7 x^{2} + 0 - 7$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

단계 4.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

$12$

단계 4.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int 7 x^{2} - 7 + \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 7 x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

단계 6

$7$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 \int x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

단계 9

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

단계 10

$12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

단계 11.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

단계 12

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C$ 입니다.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 (\arctan (x) + C)$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

간단히 합니다.

$\frac{7 x^{3}}{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

단계 13.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

단계 14

답은 함수 $f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ 의 역도함수입니다.

$F (x) =$ $\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$