미적분 예제

$\int x^{3} e^{6 x^{4}} \sqrt{{(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{5}} d x$

단계 1

먼저 $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 48 x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ 이므로 $\frac{1}{48} d u_{2} = x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 e^{6 x^{4}} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}} + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 e^{6 x^{4}} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{6 x^{4}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 6 x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $6 x^{4}$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $6 x^{4}$ 로 바꿉니다.

$2 (e^{6 x^{4}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.3

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{4}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$2 (e^{6 x^{4}} (6 \frac{d}{d x} [x^{4}])) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (e^{6 x^{4}} (6 (4 x^{3}))) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.5

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$2 (e^{6 x^{4}} (24 x^{3})) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.6

$24$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + 0$

단계 1.1.5

간단히 합니다.

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단계 1.1.5.1

$48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$48 e^{6 x^{4}} x^{3}$

단계 1.1.5.2

$48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$48 x^{3} e^{6 x^{4}}$

단계 1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{{u_{2}}^{5}} \frac{1}{48} d u_{2}$

단계 2

$\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ 와 $\frac{1}{48}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sqrt{{u_{2}}^{5}}}{48} d u_{2}$

단계 3

$\frac{1}{48}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{48}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{48} \int \sqrt{{u_{2}}^{5}} d u_{2}$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ 을(를) ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{48} \int {u_{2}}^{\frac{5}{2}} d u_{2}$

단계 5

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$ 을 $\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$\frac{1}{48}$ 에 $\frac{2}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{48 \cdot 7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

단계 6.2.2

$48$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

단계 6.2.3

$2$ 및 $336$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

단계 6.2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.3.2.1

$336$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

단계 6.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

단계 6.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

단계 7

$u_{2}$ 를 모두 $2 e^{6 x^{4}} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{168} {(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{\frac{7}{2}} + C$