미적분 예제

$\frac{d}{d y} \ln (x^{2} + y^{2})$

단계 1

$f (y) = \ln (y)$ , $g (y) = x^{2} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 2.2

$x^{2}$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x^{2}$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x^{2}$ 입니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

단계 2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 y)$

단계 2.5

분수를 통분합니다.

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단계 2.5.1

$2$ 와 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x^{2} + y^{2}} y$

단계 2.5.2

$\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{2 y}{x^{2} + y^{2}}$