미적분 예제

$\int \sqrt{\frac{x^{2}}{2}} d x$

단계 1

먼저 $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} d x$ 이므로 $2^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}]$

단계 1.1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ 을(를) ${(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{x^{2}}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 1.1.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{x^{2}}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 1.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 1.1.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 1.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 1.1.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 1.1.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 1.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

단계 1.1.9

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{2}}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 1.1.10

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.10.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.10.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

단계 1.1.12

항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.12.1

$2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} x$

단계 1.1.12.2

$x$ 와 $\frac{2}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \cdot 2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 1.1.12.3

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot x}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 1.1.12.4

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.12.4.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x)}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 1.1.12.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.12.4.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 1.1.12.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 1.1.12.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 1.1.13

간단히 합니다.

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단계 1.1.13.1

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$\frac{x}{2} {(\frac{2}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

단계 1.1.13.2

$\frac{2}{x^{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.13.3

항을 묶습니다.

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단계 1.1.13.3.1

${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.13.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 1.1.13.3.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.13.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 1.1.13.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}$

단계 1.1.13.3.2

간단히 합니다.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$

단계 1.1.13.3.3

$\frac{x}{2}$ 에 $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 x}$

단계 1.1.13.3.4

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $2^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{x}{2 x \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

단계 1.1.13.3.5

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.13.3.5.1

$2^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x}$

단계 1.1.13.3.5.2

$2^{- \frac{1}{2}}$ 에 $2$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.13.3.5.2.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x}$

단계 1.1.13.3.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x}$

단계 1.1.13.3.5.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x}$

단계 1.1.13.3.5.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x}$

단계 1.1.13.3.5.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

단계 1.1.13.3.6

공약수로 약분합니다.

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

단계 1.1.13.3.7

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u_{2} \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}} d u_{2}$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int u_{2} (1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) d u_{2}$

단계 2.2

$2^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u_{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

단계 3

$2^{\frac{1}{2}}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $2^{\frac{1}{2}}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2^{\frac{1}{2}} \int u_{2} d u_{2}$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u_{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 가 됩니다.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 을 $2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$2^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2} {u_{2}}^{2} + C$

단계 5.2.2

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $2^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

단계 5.2.3

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.3.1

$2$ 에 $2^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.3.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

단계 5.2.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

단계 5.2.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

단계 5.2.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

단계 5.2.3.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

단계 6

$u_{2}$ 를 모두 $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}}^{2} + C$

단계 7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}}}^{2} + C$