미적분 예제

$D_{x} (\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1})$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$D_{x}$ 와 $\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{D_{x} (2 x + 5)}{x^{2} - 1}]$

단계 1.2

$D_{x}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{D_{x} (2 x + 5)}{x^{2} - 1}$ 의 미분은 $D_{x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}]$ 입니다.

$D_{x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{x^{2} - 1}]$

단계 2

$f (x) = 2 x + 5$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $2 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.5

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$D_{x} \frac{(x^{2} - 1) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.6.2

$x^{2} - 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$D_{x} \frac{2 \cdot (x^{2} - 1) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.9

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.10

분수를 통분합니다.

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단계 3.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - (2 x + 5) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.10.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$D_{x} \frac{2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 3.10.3

$D_{x}$ 와 $\frac{2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{D_{x} (2 (x^{2} - 1) - 2 (2 x + 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x + 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 5) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{D_{x} (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 - 2 (2 x) x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{D_{x} (2 x^{2}) + D_{x} (2 \cdot - 1) + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 D_{x} x^{2} + D_{x} (2 \cdot - 1) + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.5.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 D_{x} x^{2} + D_{x} \cdot - 2 + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.5.1.3

$D_{x}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 \cdot D_{x} + D_{x} (- 2 (2 x) x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.5.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} x \cdot x + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.5.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} (x \cdot x) + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.5.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 2 \cdot 2 D_{x} x^{2} + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.5.1.6

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} + D_{x} (- 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.5.1.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} - 2 \cdot 5 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.5.1.8

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{2 D_{x} x^{2} - 2 D_{x} - 4 D_{x} x^{2} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.5.2

$2 D_{x} x^{2}$ 에서 $4 D_{x} x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 D_{x} - 2 D_{x} x^{2} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2 D_{x} - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$- 2 D_{x} - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x$ 에서 $2 D_{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.7.1.1

$- 2 D_{x}$ 에서 $2 D_{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 D_{x} (- 1) - 2 x^{2} D_{x} - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.7.1.2

$- 2 x^{2} D_{x}$ 에서 $2 D_{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2}) - 10 D_{x} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.7.1.3

$- 10 D_{x} x$ 에서 $2 D_{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.7.1.4

$2 D_{x} (- 1) + 2 D_{x} (- x^{2})$ 에서 $2 D_{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 D_{x} (- 1 - x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.7.1.5

$2 D_{x} (- 1 - x^{2}) + 2 D_{x} (- 5 x)$ 에서 $2 D_{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 D_{x} (- 1 - x^{2} - 5 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.7.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

단계 4.8

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.8.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

단계 4.8.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

단계 4.8.3

$(x + 1) (x - 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 D_{x} (- x^{2} - 5 x - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.9

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2}) - 5 x - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.10

$- 5 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2}) - (5 x) - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.11

$- (x^{2}) - (5 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x) - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.12

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x) - 1 (1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.13

$- (x^{2} + 5 x) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 D_{x} (- (x^{2} + 5 x + 1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.14

$- (x^{2} + 5 x + 1)$ 을 $- 1 (x^{2} + 5 x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 D_{x} (- 1 (x^{2} + 5 x + 1))}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(2 D_{x}) (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

단계 4.16

$- \frac{(2 D_{x}) (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{2 D_{x} (x^{2} + 5 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$